Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.
Les expériences précédentes conduisent à penser que :
La probabilité pour qu'il arrête le premier but est
.
S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est
.
S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est
.
On note
l'événement « le gardien arrête le
- ième tir » et
.
Question
Exprimer
en fonction de
.
Traduisez l'énoncé et utilisez la formule des probabilités totales.
Traduisons les termes de l'énoncé :
La probabilité pour qu'il arrête le premier but est :
.
S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est :
.
S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est :
.
D'après la formule des probabilités totales :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
Question
En déduire le calcul de
en fonction de
et sa limite quand
tend vers l'infini.
La suite
est donc une suite arithmético-géométrique.
Son point fixe
vérifie :
. Donc :
.
Donc la suite de terme général
est géométrique de raison
.
Donc :
et :
.
Donc :
.
Conclusion :
.
, donc :
.
Conclusion :
.