Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.
Les expériences précédentes conduisent à penser que :
La probabilité pour qu'il arrête le premier but est .
S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est .
S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est .
On note l'événement « le gardien arrête le - ième tir » et .
Question
Exprimer en fonction de .
Traduisez l'énoncé et utilisez la formule des probabilités totales.
Traduisons les termes de l'énoncé :
La probabilité pour qu'il arrête le premier but est : .
S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est : .
S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est : .
D'après la formule des probabilités totales : .
Donc : .
Conclusion : .
Question
En déduire le calcul de en fonction de et sa limite quand tend vers l'infini.
La suite est donc une suite arithmético-géométrique.
Son point fixe vérifie : . Donc : .
Donc la suite de terme général est géométrique de raison .
Donc : et : .
Donc : .
Conclusion : .
, donc : .
Conclusion : .