Suites numériques

Exo 5

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.

Les expériences précédentes conduisent à penser que :

  • La probabilité pour qu'il arrête le premier but est .

  • S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est .

  • S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est .

On note l'événement « le gardien arrête le - ième tir » et .

Question

Exprimer en fonction de .

Indice

Traduisez l'énoncé et utilisez la formule des probabilités totales.

Solution

Traduisons les termes de l'énoncé :

  • La probabilité pour qu'il arrête le premier but est : .

  • S'il a arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est : .

  • S'il n'a pas arrêté un tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est : .

D'après la formule des probabilités totales : .

Donc : .

Conclusion : .

Question

En déduire le calcul de en fonction de et sa limite quand tend vers l'infini.

Solution

La suite est donc une suite arithmético-géométrique.

Son point fixe vérifie : . Donc : .

Donc la suite de terme général est géométrique de raison .

Donc : et : .

Donc : .

Conclusion : .

, donc : .

Conclusion : .

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