Applications linéaires particulières

Exo 6

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux projecteurs d'un espace vectoriel tels que .

Question

Montrer que est un projecteur.

Indice

Montrez que .

Solution

et sont des projecteurs, donc des endomorphismes de . Donc est un endomorphisme de .

Et : .

et sont des projecteurs, donc et . Et .

Donc : .

.

Et : .

Donc : .

Conclusion : est un projecteur.

Question

Montrer que : .

Indice

Démontrez l'égalité par double inclusion.

Solution

Soit . Donc : . Donc : .

Or : . Donc : . Donc .

Donc : . Donc : . Donc .

Donc : .

Réciproquement, soit . Donc : et : .

Donc : . Donc .

Donc : .

Conclusion : .

Question

Montrer que : .

Indice

Démontrez l'égalité avec la somme par double inclusion.

Puis montrez que la somme est directe.

Solution

Soit . Donc il existe tel que .

Donc avec et .

Or . Donc .

Donc avec et . Donc .

Donc .

Réciproquement, soit .

Donc il existe et tels que .

Donc il existe et tels que . Et .

Donc : . Donc : .

Et . Donc .

Donc : . Donc .

Donc .

Donc .

Montrons que la somme est directe. Si , il existe et tels que . Donc .

Donc . Donc . Donc .

Conclusion : .

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