Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux projecteurs d'un espace vectoriel
tels que
.
Question
Question
Question
Montrer que :
.
Démontrez l'égalité avec la somme par double inclusion.
Puis montrez que la somme est directe.
Soit
. Donc il existe
tel que
.
Donc
avec
et
.
Or
. Donc
.
Donc
avec
et
. Donc
.
Donc
.
Réciproquement, soit
.
Donc il existe
et
tels que
.
Donc il existe
et
tels que
. Et
.
Donc :
. Donc :
.
Et
. Donc
.
Donc :
. Donc
.
Donc
.
Donc
.
Montrons que la somme est directe. Si
, il existe
et
tels que
. Donc
.
Donc
. Donc
. Donc
.
Conclusion :
.