Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient et deux projecteurs d'un espace vectoriel .
Question
Montrer que est un projecteur si et seulement si .
Démontrez d'abord que .
est un endomorphisme, donc est un projecteur si et seulement si : .
Or car et sont des projecteurs, donc et .
Donc est un projecteur si et seulement si : .
Donc, si est un projecteur, alors : . Or .
Donc, si est un projecteur, alors : . Or . Donc .
Réciproquement, si , alors , donc est un projecteur
Conclusion : est un projecteur si et seulement si .
Question
Si est un projecteur, montrer que : .
Démontrez d'abord l'égalité de la somme par double inclusion.
Puis démontrez que la somme est directe.
.
Donc .
Réciproquement, soit . Donc .
Donc par linéarité : car et .
De même : car et .
Donc , donc . Donc .
Donc .
Soit . Donc .
Donc . Donc car et . Donc .
Donc .
Conclusion : Si est un projecteur, alors .