Applications linéaires particulières

Exo 4

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux projecteurs d'un espace vectoriel .

Question

Montrer que est un projecteur si et seulement si .

Indice

Démontrez d'abord que .

Solution

est un endomorphisme, donc est un projecteur si et seulement si : .

Or car et sont des projecteurs, donc et .

Donc est un projecteur si et seulement si : .

Donc, si est un projecteur, alors : . Or .

Donc, si est un projecteur, alors : . Or . Donc .

Réciproquement, si , alors , donc est un projecteur

Conclusion : est un projecteur si et seulement si .

Question

Si est un projecteur, montrer que : .

Indice

Démontrez d'abord l'égalité de la somme par double inclusion.

Puis démontrez que la somme est directe.

Solution

.

Donc .

Réciproquement, soit . Donc .

Donc par linéarité : car et .

De même : car et .

Donc , donc . Donc .

Donc .

Soit . Donc .

Donc . Donc car et . Donc .

Donc .

Conclusion : Si est un projecteur, alors  .

Question

Si est un projecteur, montrer que : .

Indice

Démontrez l'égalité par double inclusion.

Solution

, donc .

Donc . Donc .

Réciproquement si , alors : .

Donc et .

Or . Donc et . Donc .

Donc .

Conclusion : Si est un projecteur, alors  .

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