Applications linéaires particulières

Exo 5

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soient et deux projecteurs d'un espace vectoriel tels que .

Question

Montrer que est un projecteur.

Solution

est un endomorphisme de .

Et : .

Conclusion : est un projecteur.

Question

Montrer que : .

Indice

Démontrez l'égalité par double inclusion.

Solution

. Donc : .

Donc : . De même . Or , donc .

Donc : .

Soit . Donc . Donc : .

Donc : . Donc : . Donc : .

Conclusion : .

Question

Montrer que : .

Indice

Démontrez l'égalité par double inclusion.

Solution

Soit . Donc : . Et : .

Donc . Donc .

Donc : .

Réciproquement, soit . Donc , donc .

Or : et car est un projecteur.

Donc . Donc : .

Conclusion : .

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