Projections
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel.
Définition :
Soient
Alors :
La projection sur
La projection sur
|  |
Fondamental :
Propriétés :
et
sont linéaires et
.
.
et
.
et
.
et
.
Définition :
Un projecteur de
est un endomorphisme
de
tel que :
.
Fondamental :
Propriétés :
Soit
un projecteur de l'espace vectoriel
.
Les sous-espaces
et
sont supplémentaires dans
.
-
est la projection sur
parallèlement à
.
est un projecteur.
.Si
et
:
et le sous-espace propre associé à
est :
.
Définition :
Des sous-espaces vectoriels
, ...,
de
sont en somme directe si :
.
La somme directe est notée
.
Pour montrer qu'une somme est directe, il suffit de montrer que si
, alors :
.
Les projections
sur
parallèlement à
sont appelées projecteurs associés à la somme directe
.
si et seulement si il existe des projecteurs
, ...,
à valeurs dans
, ...,
qui vérifient :
et
pour tous
et
de
.
