Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit un ensemble, et deux parties de .
Soit l'application de dans qui à toute partie de associe .
Question
Démontrer que l'application est injective si et seulement si .
est injective si et seulement si .
Et pour toutes parties et d'un ensemble : .
Montrons successivement les deux implications.
Supposons que est injective.
donc . De même . Donc : .
Or : . Donc : .
Or est injective, donc : .
Supposons que .
Soient et deux parties de telles que , donc : .
Donc : . Donc : .
Or : . Donc : . Donc est injective.
Conclusion : L'application est injective si et seulement si .
Question
Démontrer que est surjective si et seulement si .
Dans l'une des implications, utilisez un antécédent de .
Dans l'autre, traduire en termes de complémentaires.
Montrons successivement les deux implications.
Supposons que est surjective.
Donc pour tout , il existe tel que .
En particulier, il existe tel que , donc : .
Donc : . Donc : .
Supposons que . Donc : et .
Soit . Donc : et .
Donc : et . Donc : .
Donc : . Donc : . Donc est surjective.
Conclusion : est surjective si et seulement si .
Question
En déduire à quelle condition est bijective, et déterminer alors son application réciproque.
est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, donc si et seulement si et , donc si et seulement si .
Conclusion : L'application est bijective si et seulement si et sont complémentaires.
Et d'après la deuxième question, si , alors .
Conclusion : L'application réciproque de est l'application qui à tout associe .