Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que l'application
définie sur
par :
est bijective de
dans une partie
de
que l'on déterminera.
Préciser son application réciproque.
Cherchez à quelle condition un élément
de
a un antécédent unique dans
.
Cherchons les antécédents d'un réel
:
.
Si
, l'équation devient :
. Donc
a un unique antécédent
car
.
Si
, on a une équation du second degré de discriminant
.
Si
, alors
, donc l'équation n'a pas de solution, et donc
n'a pas d'antécédent.
Si
, alors
, donc l'équation a une seule solution
mais
, donc
n'a pas d'antécédent dans
.
Si
, alors
, donc l'équation a une seule solution
et
, donc
a un unique antécédent
dans
.
Si
(et
), alors
, donc l'équation a deux solutions distinctes. Notons
la plus petite et
la plus grande. Voyons si elles appartiennent à
. Pour cela, introduisons le polynôme :
.
On a :
et
. Donc
et
Si
,
est du signe de
et
de signe contraire. Donc :
.
Et si
,
est du signe de
et
de signe contraire. Donc :
.
Donc dans les deux cas, une seule des solutions appartient à
, et donc
a un unique antécédent dans
.
Donc un réel
possède un unique antécédent dans
si et seulement si
.
Conclusion : L'application
est bijective de
dans
.
Sa réciproque
est l'application qui à tout
associe son unique antécédent.
D'après ce qui précède :
et
.
Si
(et
), les racines du polynôme
sont :
et
.
Si
,
est la plus grande des deux racines. Donc :
car
.
Si
,
est la plus petite des deux racines. Donc :
car
.
Conclusion :
est l'application définie sur
par :
et
.
