Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Soit
un ensemble non vide, et
une partie non vide de
. On note
la différence symétrique.
Montrer que l'application
de
dans
définie par :
est bijective et préciser son application réciproque.
Cherchez le nombre de solutions de l'équation
en étudiant l'intersection et la réunion de
avec
.
Soit
une partie de
. Cherchons le nombre de solutions de l'équation
.
équivaut à :
.
Donc si
, alors :
car
.
Et :
car
.
Donc :
, donc :
.
Or :
.
Donc si
, alors :
, donc
.
Donc l'équation
admet au plus une solution
dans
, et donc
est injective.
Et cette solution est bien un antécédent de
car si
, alors :
par associativité de la différence symétrique
. Donc
est surjective.
Conclusion : L'application
est bijective et sa réciproque est
.
