Bijectivité
Définition :
L'application est bijective si tout élément possède un unique antécédent dans .
Pour tout , l'équation possède une unique solution dans .
Méthode :
Pour démontrer qu'une application de dans est bijective, on prend un élément quelconque dans , et l'on cherche le nombre de solutions de l'équation dans l'ensemble .
Fondamental :
Propriétés :
est bijective de dans si et seulement si elle est injective et surjective.
Si et sont bijectives, leur composée est bijective.
est bijective de dans si et seulement si il existe une application de dans telle que et .
Définition :
Si est bijective de dans , on lui associe une application réciproque de dans qui à tout élément de associe son unique antécédent : .
Méthode :
En résolvant l'équation , l'expression de l'unique antécédent en fonction de donnera l'application réciproque.
Fondamental :
Propriétés :
Si est bijective de dans , son application réciproque est bijective de dans .
Si est bijective de dans , alors : et .
Si et sont bijectives, est bijective et : .