Introduction
Durée : 60 minutes
Niveau : moyen
désignant un réel quelconque, on considère la fonction
définie pour tout
appartenant à
par :
et on note
sa courbe représentative dans le repère orthonormé 
d'unité graphique 10 cm.
On note
,
et
les points de coordonnées 
, 
, et 
.
1) Etude de 
(dans cette question
).
a. Etudier le signe de 
sur
.
En déduire les variations de sur
.
b. Montrer que 
.
Montrer que est continue en
. Est elle dérivable en
? Que peut-t-on dire de la tangente à
en
?
c. Donner le tableau de variation de et tracer
.
2) Etude de 
.
a. Calculer la dérivée 
de sur
.
Soit
le point de
d'abscisse
. Montrer que la tangente en
est la droite
.
b. Montrer que est continue en
. Est-elle dérivable en
? Que peut-t-on dire de la tangente à
en
?
3) Etude de 
et 
.
a. E tudier la position relative de
et
.
b. Etablir le tableau de variation de . Tracer
sur le même graphique que
. Préciser le coefficient directeur de la tangente en
à
.
c. Montrer que 
. En déduire une construction de 
à partir de
et
. Tracer sur le même graphique.
