Fonctions exponentielles et logarithmes
Une fonction avec un axe de symétrie. Des solutions de l'équation différentielle y'' = y

Introduction

Durée : 45 minutes

Niveau : moyen

On considère la fonction définie pour tout réel par .

1) Faire afficher la représentation graphique de sur une calculatrice.

Quel(s) éléments de symétrie de peut-on conjecturer ?

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2) Etudier la fonction et déterminer en particulier son minimum.

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3) Montrer la conjecture établie en 1.

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4) On considère l'équation différentielle : .

a. Montrer que est solution de .

b. Montrer que est solution de .

c. En déduire que toute les fonctions de la forme : (avec ) sont solutions de .

d. Soient les fonctions et définies sur par et .

Montrer que et , puis que et sont solution de .

Exprimer et en fonction de et .

Monter que pour tout réel .

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