Introduction
Durée : 60 minutes
Niveau : difficile
est un tétraèdre régulier de côté
, 
le projeté orthogonal de
sur le plan 
. La droite 
est une hauteur du tétraèdre
.
1)
a. Montrer que le point est équidistant des points
,
,
.
b. En déduire que 
.
a. projeté orthogonal de
sur donc est orthogonale à toute droite de .
b. Quel rôle joue le point pour le triangle
?
a. Les triangles 
, 
, 
sont des triangles rectangle en ; le théorème de Pythagore permet de calculer les distances 
, 
, 
.
Le point est le projeté orthogonal de
sur donc la droite est perpendiculaire au plan et donc orthogonale à toute droite de ce plan et en particulier aux droites 
, 
, 
.
En appliquant le théorème de Pythagore dans chacun des triangles rectangles en , , , :
Des distances sont des réels positifs, d'où 
.
D'après la question a/, est équidistant des points
,
,
c'est donc le point d'intersection des médiatrices du triangle
, mais comme le triangle
est équilatéral, c'est aussi le centre de gravité ou isobarycentre des points
,
,
; il vérifie donc :
Pour tout point
, 
et en particulier pour 
, .
2) Développer le carré scalaire 
, le calculer en fonction de
. En déduire 
en fonction de
.
Si l'on note 
, 
,
les projetés respectifs de
,
,
respectivement sur les plans 
, 
, 
, en déduire les distances 
, 
, 
.
Le produit scalaire de 2 vecteurs est défini par 
, soit 
.
Les propriétés du produit scalaire permettent de développer.
D'après les propriétés du produit scalaire,
Les triangles
,
,
étant des triangles équilatéraux de côté
, 
et 
, d'où 
.
D'après la question 1.b/, , d'où 
.
3) Montrer que l'isobarycentre
des points
,
,
,
est sur et que 
. En déduire
en fonction de
.
Justifier que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes en
et que
est équidistant des quatre sommets
,
,
,
.
est le barycentre du système 
, 
, 
, 
et en utilisant le théorème d'associativité du barycentre, peut intervenir.
barycentre du système , , , et barycentre du système du système , , donc
isobarycentre du système , 
(associativité du barycentre).
On en déduit donc que 
et pour tout point
, 
, soit pour , et 
.
L'étude faite à l'aide de peut se faire de la même manière avec , , et le tétraèdre étant régulier :
4) En utilisant l'égalité du carré scalaire de 
sous la forme 
, calculer 
et en déduire que 
.
d'où 
.
On en déduit donc 
, résultat indépendant de
.
un cube d'arête
(
).
le point du segment 
défini par 
avec 
.
1) Montrer que les triangles
,
,
sont isocèles en
et isométriques.
Démontrer que les triangles
,
,
sont isocèles en
revient à justifier que
appartient aux plans médiateurs respectivement de 
, 
, 
.
La caractéristique de
est d'être un point de ; justifier que la droite 
est dans les plans médiateurs de , , permet de conclure que 
.
Observer le comportement de la figure ci-dessous lorsque le point
se déplace sur
(Macromedia Flash - 11Ko).
(diagonale de carré de côté
)
et
sont équidistants de
et de
, ils sont donc dans le plan médiateur de et la droite 
est contenue dans ce plan médiateur.
donc
est dans le plan médiateur de et 
.
Le triangle
est isocèle en
et 
.
A l'aide d'une même démarche,
est dans les plans médiateurs de et et donc 
; les triangles
et
sont isocèles en
et 
.
Les triangles
,
,
ont les côtés d'extrémités
de même longueur et les côtés opposés au sommet
de même longueur, ils sont donc isométriques.
2) On note 
:
a. Justifier que 
.
b. En utilisant l'égalité du carré scalaire de 
sous la forme 
, montrer que 
; en déduire que 
.
c. On note
la fonction définie sur 
par 
; établir le tableau de variation de
puis en déduire les variations de 
suivant
.
a.
b. Par hypothèse ce qui permet d'introduire le réel
et dans le plan 
,
est le projeté orthogonal de
sur 
d'où le produit scalaire 
est égal à 
.
et 
d'où 
.
d'où, 
.
Le triangle
est rectangle en
d'où 
.
est le projeté orthogonal de
sur d'où 
.
On a donc 
.
On en déduit donc que 
, résultat indépendant de
.
La fonction
est dérivable sur et 
d'où :
La fonction cosinus est décroissante sur 
, les variations de sont :
3)
a. Pour quelles valeurs de
les triangles
,
,
sont-ils rectangles en
?
b. On se place dans le cas où 
. Quel est le rôle du point
pour le cube ? Que vaut alors 
? Comparer avec le résultat trouvé à la partie (A)4.
Les triangles
,
,
sont rectangles en
si et seulement si 
donc si et seulement si 
.
Les triangles
,
,
sont rectangles dans deux cas :
si
, 
,
est alors en
,si
, 
.
Si
,
est le milieu de la diagonale 
du cube,
est donc le centre du cube et pour
, 
, résultat identique à celui trouvé question (A)4.
