Introduction
Durée : 40 minutes
Niveau : moyen
Énoncé de l'exercice
est un tétraèdre,
est l'isobarycentre des points
,
,
et
, et
est le point tel que 
.
Objectif :
Le but de l'exercice est de justifier l'existence du point
point d'intersection de la droite
et du plan
puis de déterminer sa position dans le triangle
par deux méthodes différentes.
Observer le comportement de la figure ci-dessous lorsque le point A se déplace (Macromedia Flash - 22Ko).
A l'aide des barycentres
1) Montrer qu'il existe un point
tel que
est le barycentre du système 
et 
; justifier que 
et qu'il est à l'intérieur du triangle
.
Les hypothèses sur les points
et
faisant intervenir les barycentres sont :
isobarycentre des points
,
,
,
et
barycentre du système 
, 
. Vu la conclusion cherchée, il faut essayer d'introduire
comme barycentre partiel dans un système dont
est barycentre.
est le barycentre du système , 
, 
, 
et est le barycentre partiel de , .
G est le barycentre du système , , , .
D'après l'associativité du barycentre,
étant le barycentre de , et
étant le barycentre de , (par hypothèse ) :
barycentre de , , , ,
barycentre de , , , , ,
barycentre de , où
est le barycentre de , , .
appartient donc à la droite 
et au plan 
; de plus les trois coefficients
,
,
étant strictement positifs, le point
est à l'intérieur du triangle
.
2) En déduire que la droite coupe le plan en
.
D'après la question 1), 
; la droite n'étant pas contenue dans le plan , on peut en déduire que la droite coupe le plan au point
barycentre , , .
3) Montrer que 
et que 
.
Exprimer
comme barycentre des points
et
.
D'après les résultats précédents,
barycentre de , , .
Or
barycentre de , donc
barycentre de , 
.
On en déduit que, pour tout
, 
et en particulier pour 
, .
A l'aide de la position relative d'une droite et d'un plan dans l'espace et de la géométrie analytique
1)
étant l'isobarycentre des points
,
,
, et
et
les milieux respectifs des segments
et
, montrer que 
et que
est le milieu de
.
Si
est l' isobarycentre de
points de l'espace, le cours permet d'écrire une relation vectorielle vérifiée par tout point
de l'espace puis plus particulièrement pour 
.
,
et
jouent les rôles d'isobarycentre partiel, il est donc possible d'utiliser le théorème d'associativité du barycentre.
est l'isobarycentre des points
,
,
,
et
l'isobarycentre des points
,
,
donc pour tout point
,
et 
D'où pour tout point
, 
(relation que l'on peut obtenir aussi en utilisant le fait que
est l'isobarycentre des trois points
,
,
et
est donc le barycentre des points pondérés 
et 
d'après le théorème de l'associativité du barycentre).
Pour , 
et donc .
est l'isobarycentre des points
et
, et
l'isobarycentre des points
et
donc :
D'après le théorème d'associativité du barycentre,
est le barycentre des points pondérés 
et 
; les coefficients étant les mêmes,
est donc le milieu de
.
Pour tout point
, 
et 
.
D'où pour tout point
, 
, soit pour 
, 
.
2) Montrer que la droite est incluse dans le plan 
; en déduire que la droite coupe le plan en
, point de 
.
Si deux points distincts de l'espace appartiennent à un plan
alors la droite déterminée par ces deux points est incluse dans ce plan
.
Quelle est l'intersection des plans et ?
Par hypothèse , donc
est le barycentre des points pondérés et , et donc 
. Comme la droite 
est incluse dans le plan , 
.
est l'isobarycentre des points
,
,
donc
est le centre de gravité du triangle
et
est sur la médiane . Les points
et
appartiennent au plan donc la droite 
est incluse dans le plan .
donc 
.
, donc 
, la droite 
est donc incluse dans le plan ; 
donc .
La droite est donc dans le plan et dans ce plan, les droites et 
ne sont pas parallèles (
et ), donc coupe (égale à ) en un point
. La droite est la droite d'intersection des plans et , la droite coupe le plan au point
de .
3) L'espace étant muni du repère 
:
a. Calculer les coordonnées des points
et
.
b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
c. Montrer que le point
intersection de la droite et du plan vérifie .
b. La représentation paramétrique d'une droite 
définie par le point
et un vecteur directeur 
est obtenue par la traduction analytique de l'écriture vectorielle, 
.
c. Le point
est le point d'intersection de la droite et du plan ; quelle est l'abscisse d'un point du plan ?
Dans le repère , les points
,
,
,
ont respectivement pour coordonnées 
, 
, 
, 
.
Pour tout point
, 
et , soit pour .
et 
d'où
a pour coordonnées 
et
a pour coordonnées 
.
La traduction vectorielle de la droite est : 
.
D'où une représentation paramétrique de : 
.
Une traduction vectorielle du plan est :
d'où tout point
du plan a pour abscisse
.
d'où 
.
d'où il existe un réel
tel que :
Soit 
et
a pour coordonnées 
.
On en déduit que :
