Introduction
Durée : 50 minutes
Niveau : moyen
Énoncé de l'exercice
Le but de l'exercice est de déterminer pour deux droites
et
de l'espace une droite
qui est à la fois orthogonale et sécante à
et
;
est appelée perpendiculaire commune à
et
.
et
sont deux droites de l'espace strictement parallèles.
Déterminer l'ensemble des perpendiculaires communes.
Deux droites de l'espace strictement parallèles déterminent un plan.
et
sont strictement parallèles, elles sont donc coplanaires.
Dans ce plan :
Par tout point d'une droite, on peut construire une perpendiculaire à cette droite et une seule.
Si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
L'ensemble des perpendiculaires communes à
et
est donc égal à l'ensemble des perpendiculaires à au moins l'une d'elles.
et
sont deux droites de l'espace sécantes.
Montrer qu'elles possèdent une perpendiculaire commune et une seule.
Deux droites de l'espace sécantes déterminent un plan ; toute droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est perpendiculaire à ce plan.
et
sont deux droites sécantes de l'espace, elles sont donc coplanaires.
Si
est le plan déterminé par
et
, et
une perpendiculaire commune à
et
, alors
est perpendiculaire au plan
(toute droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est perpendiculaire à ce plan).
coupe donc le plan
en un seul point et
est sécante à
et
.
coupe donc
au point d'intersection de
et
.
Par le point d'intersection de
et
, il passe une perpendiculaire au plan
défini par
et
et une seule.
Deux droites sécantes de l'espace admettent donc une seule perpendiculaire commune, c'est la perpendiculaire en leur point d'intersection au plan qu'elles déterminent.
et
sont deux droites de l'espace non coplanaires.
1) L'espace étant muni d'un repère orthonormal 
, les droites
et
ont pour représentation paramétrique respective :
Montrer que
et
sont non coplanaires.
Deux droites de l'espace sont coplanaires si elles sont parallèles ou sécantes.
1) D'après leur représentation paramétrique les droites
et
admettent respectivement pour vecteur directeur 
et 
. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (il n'existe pas de réel
tel que 
), donc
et
ne sont pas parallèles.
Les équations 
et 
étant incompatibles, ce système n'a pas de solution, les droites
et
ne sont pas sécantes.
Les droites
et
ne sont ni sécantes ni parallèles, elles sont non coplanaires.
Les droites 
et 
sont non coplanaires si les vecteurs 
, 
, 
sont non coplanaires.
, , sont coplanaires si et seulement si il existe des réels
et
tels que 
.
D'après les équations paramétriques de
et
, 
, 
, d'où 
et 
, 
d'où :
Les deux dernières égalités étant incompatibles, le système n'a pas de solution, les vecteurs , , sont non coplanaires et les droites
et
aussi.
2) Montrer que la droite 
avec 
et 
est une perpendiculaire commune à
et
.
2) Étude de la position de
et
:
ayant pour représentation paramétrique 
,
et
sont donc sécantes en ; les vecteurs directeurs de
et
sont orthogonaux (
), on peut donc en déduire que
est perpendiculaire à
.
La même démarche permet de montrer que
et
sont sécantes en 
et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ; on peut donc en déduire que
est perpendiculaire à
.
est donc bien une perpendiculaire commune à
et
.
3) Justifier que est la seule perpendiculaire commune à
et
.
Supposer qu'il existe une autre droite
perpendiculaire commune à
et
les coupant respectivement en
et
et montrer qu'alors 
.
Les points
et
doivent vérifier 
, 
, 
, 
.
3) Soit
une perpendiculaire commune à
et
,
et
les points d'intersection de
respectivement avec
et
.
et
vérifient : 
, 
(
).
, 
(
).
et .
En écrivant 
,
et
vérifient 
.
Or , , , d'où le vecteur 
a pour coordonnées 
et
et
vérifient :
Ce système a une solution unique ; c'est le couple 
. Soit 
et 
, 
et 
.
et 
,
et
points d'intersection trouvés à la question 2/ donc 
; la perpendiculaire commune à
et
est unique.
REMARQUE :
Deux droites
et
non coplanaires de l'espace admettent une seule perpendiculaire commune et si
et
sont les points d'intersection, alors, quels que soient les points
de
et
de
, 
. La distance
est la distance entre les droites
et
.
Deux droites 
, 
non coplanaires et
le plan 
, la droite
, projection orthogonale de
sur
, coupe
en
et la perpendiculaire au plan
en
coupe
en
perpendiculairement, et détermine donc la perpendiculaire commune à
et
.
détermine alors la distance entre
et
.
L'espace étant muni d'un repère orthonormal , les droites
et
ont pour repères respectifs 
, 
avec 
, 
, 
, 
; elles sont non coplanaires.
1) Écrire une représentation paramétrique de
et
.
1) Représentation paramétrique de :
Représentation paramétrique de :
2) Soit deux points 
et 
, déterminer les réels 
et 
tels que la droite 
soit perpendiculaire à
et à
. En déduire la perpendiculaire commune à
et
.
Tout point de
(respectivement
) a des coordonnées qui vérifient le système d'équations paramétriques de
(respectivement
).
Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.
2) 
est sur
donc il existe un réel tel que ses coordonnées sont 
et 
est sur
donc il existe un réel tel que ses coordonnées sont 
.
La droite admet donc pour vecteur directeur 
.
La droite est donc perpendiculaire en à
et en à
si et seulement si il existe un couple 
tel que 
.
Le système admet un seul couple solution d'où il existe une seule perpendiculaire commune à
et à
, c'est la droite 
avec 
de coordonnées 
et 
de coordonnées 
.
