Nombres complexes

Exercice : Fonction complexe, recherche d'ensembles

Introduction

Prérequis  :

  • Calculs dans C : forme algébrique , modules.

  • Notion d'antécédents.

  • Recherche de lieux géométriques (droites et cercle).

Durée : 75 minutes

Niveau : difficile

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 4 cm).

Soit le point d'affixe et le point d'affixe .

Soit la fonction définie sur par .

1) Vérifier que pour tout de , .

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2)

a. Démontrer que n'a pas d'antécédent par .

b. Déterminer les antécédents de et de par .

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3) A tout point différent de , d'affixe , on associe le point d'affixe tel que .

a. Démontrer que pour tout point différent de , le produit des longueurs et est égal à ( ).

b. Démontrer que lorsque décrit le cercle de centre et de rayon , se déplace sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

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4)

a. Déterminer l'ensemble des points tels que soit un nombre réel non nul.

b. Démontrer que lorsque décrit , se déplace sur une droite que l'on précisera.

c. Lorsque décrit , décrit-il toute la droite ?

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5) Déterminer l'ensemble des points tels que soit un imaginaire pur non nul.

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