Remarques
Une équation dynamique est insuffisante pour une étude complète d'un écoulement.
Les caractéristiques de l'écoulement d'un fluide sont données par :
- la vitesse V
- la pression P
- la masse volumique
- la température T
L'équation d'Euler doit donc être complétée par d'autres équations caractérisant le fluide, son mouvement et les conditions d'écoulement.
Eléments à ajouter
Il faut donc ajouter :
- l'équation de conservation de la masse
avec Q le débit volumique de production
- l'équation d'état du fluide :
- l'équation caractérisant le type de transformation subie par le fluide (incompressible, isotherme, adiabatique...).
- les conditions aux limites et les conditions initiales qui permettent de déterminer les constantes d'intégration.
Exemple : Équation caractéristique du fluide
- liquide incompressible :
- liquide légèrement compressible :
- Gaz parfait :
Attention : Transformations subies
Dans le cas de transformations réversibles :
Pour les isothermes :
(fluide incompressible) et
(gaz parfait).
Pour les transformations adiabatiques :
(fluide incompressible) et
(gaz parfait).
Exemple : Conditions aux limites
Elles sont définies par des parois fixes ou mobiles ou par des surfaces libres.
Paroi fixe
L'équation de la paroi est donnée par : F(x, y, z) = 0
En fluide parfait la vitesse est nécessairement orthogonale à la paroi; cette normale est définie par le gradient de la fonction F(x,y,z); la condition aux limites s'écrit donc :
est la projection de la vitesse sur x, y ou z et le deuxième terme représente les coordonnées du gradient de F.
Paroi mobile
On ajoute simplement à l'équation précédente le terme dépendant du temps, soit :
Surface libre
