La première propriété à prouver est l'équivalence des aires de deux parallélogrammes de même base et de même hauteur :

« Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, ont des aires égales.»

Considérons les deux parallélogrammes ABCD et BCFE, les deux sur la même base, BC, et entre les mêmes parallèles, BC et AF. Observons que AD est égal à BC (ce sont les deux bases du parallélogramme ABCD), et BC est égal à EF (ce sont les deux bases du parallélogramme BCFE), alors AD est égal à EF. ED est la partie commune de AD et EF, et AE et DF sont égaux. De plus, les côtés AB et DC sont égaux, car ce sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD. Aussi, parce que les points A, E, D et F sont colinéaires, les triangles BAE et CDF sont égaux.

Donc les parallélogrammes ABCD et CBEF ne sont que des différents rangements du trapèze BEDC et du triangle BAE (ou CDF) donc leurs aires sont égales.

Le remplacement d'un parallélogramme par un autre de même base et même hauteur, justifié par cette propriété, est connu en mathématiques sous le nom de cisaillement.

Remarque : Le cisaillement est également vérifié pour les triangles qui ont la même base, ce qui va servir pour montrer la propriété 2.