Transformée de Fourier des fonctions de carré sommable
Fort de l'interprétation géométrique du paragraphe précédent, il va être relativement aisé de définir l'intégrale de Fourier des vecteurs de
. Toutefois, le passage de la dimension finie de l'espace
même avec N très grand, néanmoins fini, à l'espace 
de dimension infinie est délicate. Nous nous contenterons donc de donner les définitions et formules associées et nous nous efforcerons d'en sentir la signification à la lumière de ce que nous avons vu en dimension finie. Une fois muni des définitions intégrales, nous pourrons ensuite aisément démontrer un grand nombre de propriétés de la transformation de Fourier qui vont être cruciales pour la suite des opérations.
On commence par rappeler une formule vue dans le chapitre précédent ainsi que son interprétation pour un vecteur de , c'est-à-dire une fonction continue du temps, soit
:
qui exprime que le vecteur 
peut s'écrire comme combinaison linéaire dans la base (infinie) des impulsions de Dirac décalées lorsque 
varie de moins l'infini à plus l'infini. C'est, bien sûr, la représentation vectorielle d'une fonction ou vecteur de
.
Nous définissons comme précédemment la transformation de Fourier de ce vecteur de comme un changement de base qui conduit à représenter le même vecteur mais cette fois dans l'ensemble infini des vecteurs de base, exponentielles complexes, à savoir les fonctions 
où varie de moins à l'infini à plus l'infini. A la continuité de l'espace temporel qui se traduit par la dimension infinie de l'espace 
correspond la continuité de l'espace fréquentiel. Nous obtenons ainsi une infinité dense de composantes 
, dans le cas général, composantes complexes par la même infinité de projections du vecteur d'origine sur ces exponentielles complexes. Ces projections sont obtenues par les produits scalaires (une infinité paramétrée par la fréquence f) qui définissent l'intégrale de Fourier comme suit :
Transformée de Fourier directe de
Remarque :
Plutôt que d'apprendre « par coeur » cette formule sans y percevoir quelque signification, il est utile et structurant d'y voir un produit scalaire et par conséquent une projection du vecteur d'origine sur une fonction de base. Le fait d'associer une signification qui connecte à la culture mathématique maîtrisée, en l'occurrence l'algèbre et la géométrie, aide énormément à s'approprier ces concepts abstraits, délicats voire incompréhensibles si on se contente de prendre la formule pour argent comptant.
Remarque :
En général, dans la littérature, on ne représente pas explicitement les bornes de l'intégrale. On rencontre souvent l'intégrale de Fourier sous la forme :
dans laquelle les bornes moins et plus l'infini sont implicites. Nous utiliserons cette notation dans la suite.
Il est maintenant aisé (relativement) de comprendre la transformée de Fourier inverse qui exprime tout simplement le fait que le vecteur d'origine, 
s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs ou fonctions de base que constituent les exponentielles complexes. Dans cette combinaison linéaire, les coefficients sont les projections du vecteur d'origine sur ces exponentielles complexes. Ainsi, la transformée de Fourier inverse s'écrit :
Remarque :
Une fonction mathématique quelconque n'admet pas nécessairement une transformée de Fourier (notée TF) parce que l'intégrale de Fourier peut diverger. On insiste sur le fait que les fonctions de 
sont des fonctions de carré intégrables, donc d'énergie finie. Ces fonctions admettent une transformée de Fourier. Dans la vraie vie de la physique, les fonctions sont de durée finie ne serait-ce que parce que l'univers a eu un commencement et aura, sans doute, une fin. Toute l'abstraction mathématique autour de l'existence de la transformée de Fourier, pour importante qu'elle soit dans l'épistémologie de la discipline mathématiques est assez secondaire pour le physicien et l'ingénieur.
Remarque :
On calcule rarement la transformée de Fourier d'une fonction par la résolution directe de son intégrale de Fourier. Il est néanmoins utile de traiter l'un ou l'autre exemple pour s'approprier la formule. L'exemple le plus célèbre est la transformée de Fourier de la fonction porte dont le calcul est donné ci-dessous :
