Transformées de Fourier particulières
Dans ce paragraphe, nous abordons des transformées de Fourier particulières qui sont liées à la transformée de Fourier de l’impulsion de Dirac dont nous avons déjà eu l'occasion de distinguer le caractère extraordinaire en ce sens que l’impulsion de Dirac ne peut être considéré comme une fonction classique. En réalité, pour traiter de manière rigoureuse les transformées suivantes, il faudrait étudier la théorie dite des distributions qui prolonge le concept classique de fonction. Toutefois, cette théorie est délicate et il n'est pas question au niveau de description de ce cours, de l'étudier. Nous allons donc « démontrer » les transformées suivantes de manière impropre et approximative. Nous pensons qu'il vaut mieux justifier les formules par une pseudo-démonstration plutôt que de les admettre sans autre forme de procès. Ces éléments bien que non rigoureux permettent tout de même de s'approprier quelque peu l'objet impulsion de Dirac et les transformées qui en découlent.
Nous commençons par 
. Pour cette transformée, il est possible d'écrire l'intégrale correspondante bien qu'une impulsion de Dirac dans une démonstration soit récusée par les mathématiciens. Il vient,
(il n'est pas inutile de revoir le chapitre précédent)
On retiendra :
Qu'en est-il de la transformée de Fourier de la fonction temporelle 1, qu'il faut comprendre au sens de 
(la fonction qui vaut 1 de t variant de moins l'infini à plus l'infini) ?
On peut mentionner que cette fonction n'est pas une fonction de 
. Au sens des fonctions, elle n'admet pas de transformée de Fourier parce que son intégrale de Fourier ne converge pas. Pourtant, au sens des distributions, elle admet bel et bien une transformée de Fourier. Nous pouvons « démontrer » sa valeur bien que la « démonstration » ne soit pas rigoureuse. Toutefois, si on remarque que 
est une « fonction » paire, alors selon la propriété 
, il vient :
, on retiendra :
Si on place en regard les deux formules précédentes,
et 
, on voit à nouveau la dualité des espaces temporels et fréquentiels.
Il nous reste à déterminer les transformées de Fourier des fonctions cosinus et sinus. Pour ce faire, on exploite les formules d'Euler :
et 
Ainsi,
On interprète la fonction cosinus de fréquence 
comme la somme de la modulation à la fréquence et de la modulation à la fréquence 
de la fonction 
. En appliquant la linéarité et la propriété de modulation combinée à 
, il vient :
On démontre de façon analogue que :
