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Pour donner une signification en l’occurrence géométrique à la transformation de Fourier, on part de la représentation vectorielle du chapitre précédent d'un signal de 
et on rappelle les équations fondamentales que nous y avons découverts.
avec
Sous cette forme, le signal échantillonné peut être interprété comme étant un vecteur dans un espace vectoriel de dimension N. L'équation précédente est donc lue comme la représentation du vecteur du signal dans la base canonique des vecteurs
qui forme un ensemble de vecteurs orthonormés, une base de l'espace des signaux de 
.
Pour bien s'approprier le concept nouveau, il n'est pas inutile de se remettre en tête une notion classique dont la transformation de Fourier est une extension. Nous allons donc reprendre un peu les questions de représentation vectorielle dans 
et la question ici centrale de changement de repère puis nous généraliserons assez aisément à 
. Si on considère l'espace vectoriel 
muni d'une base orthonormée 
, alors un vecteur 
quelconque de cet espace vectoriel s'écrira :
qu'on écrit aussi : 
.
Il est clair que les vecteurs
ont dans la base qu'ils forment respectivement les coordonnées :
, 
et 
.
Nous savons toutefois que la base 
n'est pas la seule possible. En fait, il existe une infinité de bases orthonormées de triplets de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux et on passe de l'une à l'autre moyennant trois rotations. Si on définit une nouvelle base par les trois vecteurs orthonormés 
,alors le vecteur 
s'écrira dans cette base, 
Il faut insister sur le fait que les coordonnées dans cette nouvelle base ont changé mais c'est le même vecteur qui est pourvu dans cette nouvelle base d'une nouvelle représentation. Pour obtenir ces nouvelles coordonnées, on procède comme suit : on exprime toutes les coordonnées dans la base initiale 
, soit les coordonnées de 
et les coordonnées dans 
des vecteurs 
qui définissent la nouvelle base.
Alors, 
puisque le triplet 
est orthonormé.
De façon analogue, on obtient :
On interprète ces équations de la manière suivante : on obtient les coordonnées du vecteur dans la nouvelle base en projetant ce vecteur sur les vecteurs de cette nouvelle base.
