Le saut d'un skieur
La piste horizontale sur laquelle se déplace un skieur de masse
à la vitesse
subit une brusque dénivellation de hauteur
. On assimilera le skieur à un point matériel.
Question
À quelle distance de la dénivellation le skieur reprend-il contact avec la piste toujours horizontale ? Ce point est appelé la portée.
En choisissant un système d'axe ayant pour origine le début du saut, la situation peut se schématiser ainsi :
Les conditions initiales sont :
et
On applique la deuxième loi de Newton pour avoir l'accélération :
La vitesse est obtenue en prenant la primitive de l'accélération :
Les constantes d'intégration
et
sont déterminées à partir des conditions initiales. À l'instant initial
, cette vitesse vaut :
En comparant avec la vitesse
, on voit que
et
, soit :
Le vecteur position est obtenu en prenant la primitive de la vitesse :
Les constantes d'intégration
et
sont déterminées à partir des conditions initiales. À l'instant initial
, la position vaut :
En comparant avec la position
, on voit que
et
, soit :
Pour obtenir l'équation de la trajectoire, on isole le temps dans l'expression de la première coordonnée du vecteur position et on remplace, dans la deuxième coordonnée, le terme de temps par cette expression :
De cette équation de la trajectoire, on obtient la portée
et la chute de la hauteur
:
