Mécanique 

Les forces qui agissent sur la sphère sont :

   - le poids

   - la force électrique

Les deux forces étant dans le plan , la sphère restera dans ce plan.

On applique la deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) :

L'accélération est :

Les composantes de l'accélération sont :

Les deux composantes de l'accélération sont constantes.

Détermination du vecteur vitesse et du vecteur position.

a) Le vecteur accélération correspond à la variation du vecteur vitesse :

Pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse , on part des coordonnées du vecteur accélération :

On intègre ensuite les équations différentielles pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse :

On doit évaluer les constantes et . Les coordonnées du vecteur vitesse doivent être exactes même pour . D'après la relation ci_dessus, on a :

Or d'après l'énoncé, la sphère est lâchée sans vitesse initiale, soit :

On identifie alors :

Ce qui donne pour les coordonnées du vecteur vitesse :

ou :

b) Le vecteur vitesse correspond à la variation du vecteur position :

Pour obtenir les coordonnées du vecteur position

vitesse :

Pour obtenir les coordonnées du vecteur position , on part des coordonnées du vecteur vitesse :

On intègre les équations différentielles pour trouver les coordonnées du vecteur position :

On doit évaluer les constantes et . Les coordonnées du vecteur position doivent être exactes même pour . D'après la relation ci-dessus, on a :

Or d'après l'énoncé, la sphère est lâchée d'un point de coordonnées = , soit :

On identifie alors :

Ce qui donne pour les coordonnées du vecteur position :

ou :

Pour écrire l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps entre les composantes du vecteur position. On a :

On utilise la composante pour exprimer le temps sous la forme :

On peut alors remplacer le terme de la composante par celui que l'on vient d'écrire :

On obtient une expression qui ne dépend plus du temps. On arrange cette expression pour obtenir l'équation de la trajectoire :

Cette expression est de la forme , c'est donc l'équation d'une droite. La trajectoire de la sphère est rectiligne.

Lorsque la sphère se trouve dans le plan horizontal passant par , on a . Et on a v que la composante s'écrit :

soit :

Si on considère que la trajectoire de la charge passe par le point P de coordonnées , l'équation de la trajectoire nous donne :

Ce qui est satisfait pour une tension :