Introduction
Durée : 60 minutes
Niveau : moyen
L'aire comprise entre
, les deux droites d'équations
et
et la courbe
est égale à (choisir la ou les propositions qui conviennent parmi les suivantes) :
1. 
2. 
3. 
4. 
Soit
une fonction continue et positive sur un intervalle
, 
sa courbe représentative dans un repère orthogonal,
et
deux éléments de
tels que 
. Soit
la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives
et
.
L'aire, en unités d'aire, de
, est appelée intégrale de
à
de
.
Cette intégrale se note 
.
est continue sur
et 
, pour tout 
.
Donc l'aire demandée est égale en unités d'aire à : (réponse 4/) ou (réponse 2/).
La courbe
ci-dessous est une partie de la courbe de la fonction 
dans un repère orthonormal.
Définition :
Soit
une fonction continue et positive sur un intervalle
, sa courbe représentative dans un repère orthogonal,
et
deux éléments de
tels que . Soit
la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives
et
.
L'aire, en unités d'aire, de
, est appelée intégrale de
à
de
.
Cette intégrale se note .
Relation de Chasles :
Soit
une fonction définie continue sur un intervalle
: pour tous réels
,
et
de
,
1) Déterminer la valeur exacte de l'aire du domaine délimité par
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
La fonction inverse 
est continue et positive sur
, donc l'aire demandée est égale en unités d'aire à 
, soit 
.
2) Soit
un entier naturel strictement positif. On considère
l'aire du domaine situé entre les droites d'équations
et
, l'axe des abscisses et la courbe
.
a. Montrer que 
.
b. Quelle est la limite de la suite
?
a. La fonction inverse est continue et positive sur
, donc pour tout 
, .
b. 
donc 
, d'où 
.
3) On pose
.
a. Déterminer un domaine plan dont l'aire est égale à
.
b. Exprimer
en fonction de
.
c. Quelle est la limite de la suite
?
a. L'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
est égale à
.
b. Pour tout , 
, d'où 
d'après la relation de Chasles.
On a donc : pour tout , 
.
c. 
, d'où 
.
Soit le cône d'axe
de sommet
, de hauteur
dont la base
est le disque de centre
et de rayon
.
Tout plan d'équation
, avec 
, coupe le cône suivant un disque
de rayon variable.
Théorème fondamental du calcul intégral :
Soient
une fonction continue sur un intervalle
,
une primitive de
sur
et
et
deux réels de
. 
.
On note aussi : 
.
On pourra considérer la section du cône par le plan
.
Reconnaître une situation de Thalès.
1) Déterminer l'aire
de
en fonction de
,
et
.
Considérons la section du cône par le plan
.
Nous obtenons le triangle
ci-dessus, les points
,
et
étant des points du plan d'équation
. Dans le triangle
, les droites
et
sont parallèles. D'après la propriété de Thalès nous avons :
Or 
donc 
.
L'aire en unités d'aire du disque
de rayon
est donc égale à : 
.
2) Le volume du cône (en unités de volumes) est donné par la formule 
.
Calculer
et retrouver le volume du cône en fonction de R et
.
, d'où 
, c'est-à-dire 
en unités de volume.
