Introduction
Durée :50 minutes
Niveau : moyen
Soit
une fonction définie et dérivable, de dérivée
continue sur
.
La courbe représentative de
est donnée ci-dessous :
Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma ?
Théorème fondamental du calcul intégral :
Soient
une fonction continue sur un intervalle
,
une primitive de
sur
et
et
deux réels de
. 
.
On note aussi : 
.
Comparaison d'intégrales :
et
sont deux fonctions continues sur un intervalle
,
et
deux éléments de
tels que 
.
Si 
, pour tout
appartenant à
, alors : 
.
1) 
Par hypothèses
est continue sur
donc 
.
Or
donc .
L'affirmation est donc cohérente avec le graphique.
2) 
D'après le graphique, la fonction g est minorée par 
.
Donc, pour tout réel
de
, 
.
Comme
est une fonction dérivable sur
, on peut intégrer cette inégalité sur
, on obtient : 
.
On en déduit que 
.
L'affirmation est donc cohérente avec le graphique.
Calculer la valeur moyenne de 
sur 
.
Théorème fondamental du calcul intégral :
Soient
une fonction continue sur un intervalle
,
une primitive de
sur
et
et
deux réels de
. .
On note aussi : .
La fonction est continue sur , donc la valeur moyenne de la fonction sur est : 
.
Soit la fonction
définie sur
par : 
.
Théorème fondamental du calcul intégral :
Soient
une fonction continue sur un intervalle
,
une primitive de
sur
et
et
deux réels de
. .
On note aussi : .
1) a. Justifier que
est dérivable sur
et déterminer sa dérivée
.
b. Justifier que
est dérivable sur
et déterminer sa dérivée
.
a. Les fonctions 
et 
sont dérivables sur
donc, par produit,
est dérivable sur
. Pour tout réel
,
b. Les fonctions et 
sont dérivables sur
donc, par produit,
est dérivable sur
. Pour tout réel
,
2) a. Vérifier que pour tout
de
: 
.
b. En déduire une primitive
de
sur
.
c. Calculer l'intégrale 
.
a. Pour tout
de
, 
Donc, pour tout
de R, .
b. La fonction
est dérivable sur R, elle y admet des primitives et l'une d'entre elles est la fonction
définie sur
par 
.
Donc, pour tout
de R, 
.
c. 
et 
D'où 
.
