Introduction
Durée : 45 minutes
Niveau : moyen
Les fonctions
et
sont définies sur
par : 
et 
.
Les représentations graphiques des fonctions
et
sont données ci-dessous :
En utilisant des calculs d'aires, calculer les intégrales suivantes :
Définition :
Soit
une fonction continue et positive sur un intervalle
, 
sa courbe représentative dans un repère orthogonal,
et
deux éléments de
tels que 
. Soit
la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives
et
.
L'aire, en unités d'aire, de
, est appelée intégrale de
à
de
.
Cette intégrale se note 
.
1) 
Sur
Donc |  |
2) 
Sur
Donc |  |
3) 
Donc on en déduit que : 
.
4) 
Sur
Donc |  |
Un point mobile
, situé au point
à l'instant
se déplace sur un segment
.
A l'instant
(exprimé en secondes), sa vitesse
(exprimée en
) est donnée par :
pour
.
A l'instant
, le mobile arrive au point
.
Définition :
Soit
une fonction continue et positive sur un intervalle
, sa courbe représentative dans un repère orthogonal,
et
deux éléments de
tels que . Soit
la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives
et
.
L'aire, en unités d'aire, de
, est appelée intégrale de
à
de
.
Cette intégrale se note .
Valeur moyenne d'une fonction continue :
Soit
une fonction continue sur l'intervalle
avec
.
On appelle valeur moyenne de
sur
, le réel 
.
1) Représenter la vitesse du mobile en fonction du temps.
2) a. Durant une période de temps très courte, notée 
, on peut considérer que la vitesse
ne varie pas. Quelle est la distance
parcourue par le mobile durant cette période ?
b. Exprimer la distance parcourue en mètres
entre les instants
et
à l'aide d'une intégrale lorsque
.
c. Visualiser sur le graphique une aire correspondant à cette intégrale et exprimer
en fonction de
. Quel lien observe-t-on entre les fonctions
et
?
d. Calculer la distance parcourue en mètres entre les instants
et
.
a. 
b. 
c.
est égale à l'aire du trapèze délimité par la courbe de la fonction
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
.
|  |
On peut remarquer que pour
,
.
Donc la fonction
est la dérivée de la fonction
par rapport à la variable
.
d. 
; la distance parcourue est
m.
3) Exprimer à l'aide d'une intégrale la vitesse moyenne
du mobile au cours de la même durée, puis la calculer.
Par définition, 
donc 
.
Par conséquent, 
, la vitesse moyenne est donc de
.
