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L'algorithme d'Euclide pour des grandeurs

Calcul de fractions continues

La méthode de retranchement de carrés peut-être appliquée également dans le cas où les côtés et sont incommensurables, c'est-à-dire quand le rapport de leurs mesures est un nombre irrationnel. Le processus de division ne s'arrête donc jamais mais la suite des nombres de carrés retranchés qui apparaissent donnent une suite de très bonnes approximations rationnelles (en un certain sens la meilleure) de ce nombre qui s'appelle le développement en fractions continues.

Dans l'appliquette suivante, vous pouvez expérimenter en plaçant les points et à des coordonnées décimales. Malheureusement les petits carrés deviennent rapidement minuscules et invisibles. Sur la partie droite, l'approximation rationelle associée sous forme de développement en fractions continues.

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Étant donné un nombre réel positif que nous devons approcher. Il a une partie entière et un reste vérifiant , avec et .

Si le reste est nul, on arrête et le nombre est un entier. Sinon, on calcule . Ce nombre est plus grand que 1 et possède donc une partie entière , avec   et . On obtient ainsi itérativement une suite d'entiers qui est finie si est rationnel, qui donne une suite convergente d'approximations rationnelles dans le cas contraire:

où la limite est à définir proprement.

Pr. Dr. Dr. Jürgen Richter Gebert, Université Technique de Munich http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Lehrstuhl/RichterGebert Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Partage des Conditions Initiales à l'IdentiqueRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)