Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
le plan affine euclidien de repère orthomormal
.
Soient
et
deux réels strictement positifs tels que
.
Soit
l'application définie sur
par :
.
Question
Déterminer une équation cartésienne du support
de l'arc
.
Eliminez le paramètre
.
Un point
appartient à
si et seulement si :
.
Donc
appartient à
si et seulement si :
.
Conclusion : Une équation cartésienne de
est
.
La courbe
est une ellipse de centre
, de grand axe
et de petit axe
.
C'est l'image du cercle de centre
et de rayon
par l'affinité orthogonale de base l'axe des abscisses et de rapport
.
Question
Montrer que la courbe
admet en tout point une tangente dont on donnera une équation.
Montrez que tous les points sont réguliers.
L'application
est dérivable sur
et :
.
Or
et
ne s'annulent pas simultanément. Donc :
.
Donc tous les points de
sont réguliers.
Donc
admet une tangente en tout point
de vecteur directeur
.
Soit
le point de
de paramètre
. Donc :
.
Le vecteur vitesse en
est :
.
Un point
appartient à la tangente si et seulement si :
.
On obtient :
, donc :
.
Conclusion : La courbe
admet en tout point
une tangente dont une équation est
.
Question
Déterminer le rayon de courbure et le centre de courbure de
au point
.
Utilisez la dérivée de l'abscisse curviligne.
On choisit pour origine sur
le point
et on note
l'abscisse curviligne du point
. Donc :
.
Donc :
.
On détermine le repère de Frenet au point de paramètre
.
.
Donc :
.
Et :
.
Soit
la courbure de
au point
. Donc :
.
Donc :
.
Or :
.
Donc la courbure au point
est :
.
Or le rayon de courbure est :
.
Conclusion : Le rayon de courbure au point
est
.
Et le centre de courbure est le point
défini par :
.
Donc :
.
Et :
.
Conclusion : Le centre de courbure
a pour coordonnées
.
