Courbes planes paramétrées
Dans ce qui suit,
désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormal
et
le plan vectoriel associé.
Définition :
Un arc paramétré
de classe
est un couple formé d'un intervalle
de
d'intérieur non vide et d'une application
de classe
de
dans
.
Pour tout
, on note
le point de
défini par :
.
Le support de l'arc paramétré est :
et
est un paramétrage de
.
Le paramétrage donne la façon dont le support
est décrit.
En particulier, la trajectoire d'un point matériel est un arc paramétré : à tout instant
d'un intervalle
, on associe la position
du point.
Définition :
Changement de paramétrage
Si
est un
- difféomorphisme de
dans un intervalle
de
, alors
est un autre paramétrage de
.
Deux paramétrages sont de même sens si l'application
est strictement croissante. Sinon, ils sont de sens contraires.
On définit ainsi deux classes d'équivalence. L'arc est orienté lorsque l'on a choisi un paramétrage, donc l'une des deux classes.
Définition :
Soit
un arc paramétré de classe
avec
.
Le vecteur vitesse à l'instant
est défini par :
.
Un point
de
est régulier si :
. Sinon, le point est stationnaire.
La notion de régularité est indépendante du paramétrage choisi : c'est une notion géométrique.
Un arc paramétré
est régulier si tous les points de
sont réguliers.
Définition :
Soit
un arc paramétré de classe
avec
.
Le vecteur accélération à l'instant
est défini par :
.
Un point
de
est birégulier si
et
ne sont pas colinéaires.
La notion de birégularité est aussi une notion géométrique.
Un arc paramétré est birégulier si tous les points de
sont biréguliers.
Fondamental :
Soit
un arc paramétré de classe
avec
et
un point de
où l'une au moins des dérivées successives de
n'est pas nulle.
Soit
le plus petit entier pour lequel la dérivée d'ordre
de
ne s'annule pas en
.
Alors la courbe
admet en
une tangente de vecteur directeur
.
Si
est un point régulier,
est un vecteur directeur de la tangente à
.
Sous réserve d'existence, la tangente à
en
est la position limite de la sécante
quand
tend vers
.
Définition :
Sur le support
d'un arc paramétré
de classe
avec
, on choisit une origine
.
L'abscisse curviligne d'un point
est :
.
représente la "distance parcourue" le long de
entre
et
.
Si
et
où
, la "longueur" de l'arc
est :
.
Fondamental :
Propriétés
Si l'arc est régulier,
est un
- difféomorphisme de
dans
, et
est un paramétrage de
. Le vecteur tangent
est un vecteur unitaire.
On obtient donc un nouveau paramétrage de la courbe appelé paramétrage normal.
Définition :
Soit
un point birégulier de la courbe
.
On appelle repère de Frenet au point
le repère orthonormé direct
où
.
Soit
une mesure de l'angle
. Donc :
et
.
La courbure de la courbe au point
est :
.
Le rayon de courbure est le réel :
.
Le centre de courbure est le point
tel que
.
Le cercle osculateur est le cercle de centre
et de rayon
.
La normale au point
à la courbe
est la droite passant par
et de vecteur directeur
.
Le centre de courbure est sur la normale à la courbe.
Le cercle osculateur est le cercle qui "épouse le mieux" la forme de la courbe au voisinage du point.
Fondamental :
Formules de Frenet
, et
. 
, et
.
