Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Question
Montrer que l'application
:
est un difféomorphisme de
dans un ouvert
de
à préciser.
Utilisez le théorème d'inversion globale.
L'application
est de classe
sur l'ouvert
.
Dans
, si
, alors
, donc
.
Donc :
, donc
, et donc :
.
Donc l'application
est injective sur
.
Ses dérivées partielles sont :
, et :
.
Donc son jacobien :
n'est pas nul sur
.
Donc d'après le théorème d'inversion, l'application
est un
- difféomorphisme de
dans l'ouvert
.
Conclusion : L'application
est un
- difféomorphisme de
dans l'ouvert
.
Pour toute fonction
de classe
ou
sur
, on définit la fonction
.
Question
Exprimer les dérivées partielles d'ordre
et
de
par rapport à
et à
en fonction des dérivées partielles de
par rapport à
et à
.
Il s'agit de dériver des fonctions composées.
Sur
, la fonction
est de même classe que
sur
car
est
de
dans
. Et :
.
Donc :
, et :
.
Conclusion :
, et
.
Donc :
.
Conclusion :
.
.
Conclusion :
.
.
Conclusion :
.
Question
Déterminer les fonctions
de classe
sur
qui vérifient :
.
Effectuez le changement de variable
et
.
On pose :
et
, et la fonction
est définie par :
.
L'équation :
équivaut à :
.
D'après les calculs précédents, elle équivaut à :
.
Donc il existe une fonction
telle que :
.
Or :
, donc :
.
La fonction
est de classe
sur
et la fonction
est de classe
de
dans
.
Donc la fonction
telle que :
est de classe
sur
.
Réciproquement si
où
est une fonction de classe
sur
, alors la fonction
est de classe
sur
.
Alors :
.
Et :
.
Donc :
.
Donc la fonction
est solution de l'équation.
Conclusion : Une fonction
est solution de l'équation
sur
si et seulement si il existe une fonction
de classe
sur
telle que
.
Question
Déterminer les fonctions
de classe
sur
qui vérifient :
.
Effectuez le changement de variable
et
.
On pose :
et
, et la fonction
est définie par :
.
D'après les calculs précédents, l'équation
équivaut à :
.
Or
sur
, donc elle équivaut à :
.
Donc il existe une fonction
telle que :
.
Donc il existe deux fonctions
et
telles que :
.
Or :
et
.
Donc il existe deux fonctions
et
telles que :
.
Or la fonction
est de classe
sur
, donc les fonctions
et
sont de classe
sur
.
Réciproquement, si
où
et
sont de classe
sur
, alors
est de classe
sur
.
Alors :
, et :
.
Donc les dérivées partielles d'ordre
sont :
.
.
.
Donc :
.
Donc la fonction
est solution de l'équation.
Conclusion : Une fonction
est solution sur
de l'équation
si et seulement si il existe des fonctions
et
de classe
sur
telles que :
.
