Difféomorphismes
Dans ce qui suit,
et
sont des
- espaces vectoriels normés de dimension finie.
Définition :
Soit
une base de
et
une base de
.
Soit
une application de
dans
qui admet en un point
de
des dérivées partielles d'ordre
.
La matrice jacobienne de la fonction
en
est la matrice
en notant
ses fonctions coordonnées.
Si
, le déterminant de la matrice jacobienne
de
en
est appelé jacobien de
en
.
Par exemple, la fonction définie par :
a pour coordonnées
:
, et
:
.
Ses fonctions coordonnées admettent des dérivées partielles d'ordre
sur
.
Donc la matrice jacobienne de
en
est :
.
Et le jacobien de
en
est :
.
Fondamental :
Propriétés
pour tous réels
et
.
.
Ces propriétés sont des conséquences directes des propriétés des dérivées partielles.
Définition :
Une fonction
est un
- difféomorphisme d'un ouvert
non vide de
dans un ouvert
de
si :
la fonction
est de classe
sur
, la fonction
est bijective de
dans
,sa réciproque
est de classe
sur
.
La fonction
est un
- difféomorphisme de
dans
si c'est un
- difféomorphisme pour tout entier
.
Fondamental :
Propriétés
Si
est un
- difféomorphisme d'un ouvert
de
dans un ouvert
de
, alors :
-
.
l'application
est un
- difféomorphisme de
dans
.
.
.
Fondamental :
Théorème d'inversion locale
Soit
une application de classe
sur un ouvert
de
à valeurs dans
tel que
.
Si
en un point
, alors il existe un ouvert
de
contenant
tel que la restriction de
à
soit un
- difféomorphisme de
dans
.
Dans l'exemple précédent, la fonction définie par :
est un
-difféomorphisme local au voisinage de tout point de
.
En effet :
, donc :
si
.
Mais on peut remarquer que :
.
Donc, au voisinage de
, la fonction
n'est pas injective, donc n'est pas un
-difféomorphisme local.
Donc la fonction
n'est pas un
-difféomorphisme de
dans
.
Fondamental :
Théorème d'inversion globale
Si
est injective, de classe
sur
et si
, alors
est un ouvert de
et
est un
- difféomorphisme de
dans
.
Ce théorème permet d'effectuer des changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
