Exo 5
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les deux questions suivantes sont indépendantes.
Soit
la fonction définie par :
si
et
.
Question
Etudier l'existence de dérivées partielles d'ordre
de la fonction
.
Etudiez d'abord l'existence des dérivées partielles sur
, puis en
.
On a :
.
La fonction
est dérivable sur
si
et sur
si
.
Donc
admet une dérivée partielle par rapport à
sur
.
.
La fonction
est dérivable sur
.
Donc
admet une dérivée partielle par rapport à
sur
.
Et :
.
. Donc :
car :
.
Donc le quotient
n'a pas de limite réelle en
.
Donc
n'admet pas de dérivée partielle par rapport à
en
.
. Donc :
.
Donc
admet une dérivée partielle par rapport à
en
:
.
Conclusion : La fonction
admet des dérivées partielles par rapport à
et à
sur
. En
, elle admet seulement une dérivée partielle par rapport à
.
On peut d'ailleurs remarquer que la dérivée partielle de
par rapport à
n'est pas continue en
car
ne tend pas vers
quand
tend vers
.
Soit
la fonction définie par :
si
et
.
Question
Etudier l'existence de dérivées partielles d'ordre
de la fonction
.
Pour chaque dérivée partielle, séparez les cas
et
.
La fonction
est dérivable sur
si
.
Donc la fonction
admet une dérivée partielle par rapport à
en
où
.
Et :
si
.
Si
, la fonction
est aussi dérivable sur
.
Donc la fonction
admet une dérivée partielle nulle par rapport à
en
.
La fonction
est dérivable sur
.
Donc la fonction
admet une dérivée partielle par rapport à
en
où
.
Et :
si
.
Pour tout
avec
:
, donc :
.
Donc :
.
Donc la fonction
admet une dérivée partielle nulle par rapport à
en tout point
.
Conclusion : La fonction
admet des dérivées partielles par rapport à
et à
sur
.
