Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
si
et :
.
Question
Question
La fonction
est-elle continue en
?
Montrez qu'il existe des couples
tels que
lorsque
tend vers
.
Si
, on a
si et seulement si :
.
Si
, cette équation n'a pas de solution.
Si
, cette équation a une unique solution
. Or :
.
Donc
si et seulement si :
avec
et
.
Or
tend vers
quand
tend vers
.
Mais :
ne tend pas vers
quand
tend vers
.
Conclusion : La fonction
n'est pas continue, donc pas différentiable en
.
Question
Montrer que la fonction
admet une dérivée dans toutes les directions en
.
Utilisez la définition de la dérivée directionnelle.
Soit
un vecteur non nul de
.
La fonction
admet une dérivée en
suivant le vecteur
si et seulement si la fonction
:
est dérivable en
.
Or :
et :
.
Donc, si
:
.
Et, si
:
car :
.
Conclusion : La fonction
admet une dérivée dans toutes les directions en
.
Sa dérivée suivant
est :
si
et
si
.
