Dérivées partielles d'ordre 1
Dans ce qui suit,
et
sont des
- espaces vectoriels normés de dimension finie,
est un ouvert non vide de
et
est une application de
dans
.
Définition :
La fonction
admet une dérivée en
suivant le vecteur
si la fonction
est dérivable en
.
La dérivée de
en
suivant le vecteur
est la fonction définie par :
.
Exemple : Soit
la fonction définie par
.
Il s'agit d'une application de
dans
.
Soit
et
un vecteur non nul.
.
Donc :
.
Donc
admet en
une dérivée suivant
:
.
Fondamental :
Propriétés
Si
est une base de
,
est dérivable en
suivant
si et seulement si toutes ses coordonnées
le sont. Alors :
.Si
est différentiable en
, alors
admet en
une dérivée suivant tous les vecteurs
. Et :
.
Dans l'exemple précédent, la fonction
est différentiable en
.
En effet, si
:
.
Donc :
.
L'application
:
est linéaire et :
, donc :
.
Donc la fonction
est différentiable en
et
est l'application :
.
Donc, pour tout vecteur
non nul :
.
Définition :
Si
est une base de
,
admet une dérivée partielle en
par rapport à
si
admet une dérivée en
suivant le vecteur
.
La dérivée partielle de
en
par rapport à
est la fonction définie par :
.
Dans l'exemple précédent, la base canonique de
est :
et
.
Donc :
. Donc :
.
Et :
. Donc :
.
La fonction
admet en
des dérivées partielles d'ordre
par rapport à
et par rapport à
:
et
.
Méthode :
Dans la pratique, pour calculer la dérivée partielle de
par rapport à une variable
en
, on considère toutes les autres variables comme des paramètres constants, et on dérive la fonction
en
.
Dans l'exemple précédent, la dérivée partielle par rapport à
est la dérivée de la fonction
.
Donc :
. Donc :
.
De même, la dérivée partielle par rapport à
est la dérivée de la fonction
.
Donc :
. Donc :
.
Fondamental :
Propriétés
Si
est différentiable en
, alors
admet des dérivées partielles d'ordre
et :
.Si
admet des dérivées partielles continues en
, alors
est différentiable en
.
Attention :
Attention ! Une fonction peut admettre des dérivées partielles en
sans être différentiable.
