Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Montrer que
est différentiable sur
et calculer sa différentielle.
Montrez que les deux coordonnées de
sont différentiables.
Il s'agit d'une application de
dans
.
Elle est différentiable si et seulement si les fonctions définies par :
et
sont différentiables.
Alors :
.
La fonction
est produit des fonctions définies par :
et
.
Ces deux fonctions sont différentiables car
et
sont dérivables.
Donc la fonction
est différentiable sur
.
Soient
et
appartenant à
.
, donc
est l'application :
.
.
Or, au voisinage de
:
et :
.
Donc :
, donc
est l'application :
.
Or :
, donc
est l'application :
.
Le raisonnement est identique pour l'application
qui est donc différentiable sur
.
Et sa différentielle est l'application
:
.
Conclusion : La fonction
est différentiable sur
.
Sa différentielle en
est l'application
:
.
