Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Montrer que la fonction
est développable en série entière.
La fonction
est produit de deux fonctions développables en série entière.
Conclusion : La fonction
est développable en série entière.
Question
Calculer de deux manières différentes son développement.
Méthode
: Utilisez le produit de Cauchy de deux séries entières.
Méthode
: Utilisez les complexes.
Méthode 1
Le développement en série entière de
est le produit de Cauchy des développements des deux fonctions :
et :
.
et :
.
Donc :
avec
.
Or, pour tout entier
:
et :
.
Donc :
et
si
.
Conclusion :
avec :
.
Méthode 2
La fonction
est la partie imaginaire de la fonction :
.
Donc :
. Or :
.
Conclusion :
.
