Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Démontrer que la fonction
admet un prolongement de classe
sur
.
Montrer que la fonction peut s'écrire comme quotient de deux fonctions développables en série entière, le dénominateur ne s'annulant pas.
La fonction
est définie et de classe
sur
car les dénominateurs ne s'annulent pas.
Il s'agit donc d'étudier le prolongement en
.
On peut remarquer que :
.
Or :
.
Et :
.
Donc :
et :
.
Soit
la fonction définie par :
et :
.
Soit
la fonction définie par :
et :
.
Alors :
et :
.
Les deux fonctions sont développables en série entière, donc de classe sur
sur
.
Or :
. Donc on peut prolonger la fonction
en
en posant :
.
Le prolongement de la fonction
est donc quotient de deux fonctions de classe
sur
.
On peut remarquer que le dénominateur ne s'annule pas en étudiant la fonction
.
En effet :
est du signe de :
.
Or :
. Donc
admet un minimum en
et :
.
Donc la fonction
est positive ou nulle sur
.
Donc la fonction
est croissante sur
. Or :
. Donc :
.
Conclusion : La fonction
admet un prolongement de classe
sur
.
