Exo 4
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une série entière de rayon de convergence
.
Question
Déterminer le rayon de convergence
de la série entière
.
Utilisez la série
avec :
.
Soit :
. La série entière
converge absolument si :
.
Donc la série entière
converge absolument si
. Donc :
.
Si
, alors
. Donc la série entière
diverge grossièrement.
Donc si
, la série entière
diverge grossièrement. Donc :
.
Conclusion : Le rayon de convergence de la série entière
est
.
Question
Déterminer le rayon de convergence
de la série entière
.
Utilisez la série
avec :
.
Soit
un complexe tel que
. Si
, la série
converge absolument.
Donc :
, donc :
. Donc :
si :
.
Donc la série entière
ne diverge pas grossièrement, donc :
.
Si
, alors
, donc la série
diverge grossièrement.
Donc
ne tend pas vers
, donc
ne tend pas vers
.
Donc si
, la série
diverge grossièrement. Donc :
.
Conclusion : Le rayon de convergence de la série entière
est
.
