Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
la suite de fonctions définies par :
.
Question
Pour quelles valeurs du réel
la série
converge-t-elle simplement sur
?
Déterminez un équivalent de
quand
tend vers l'infini.
Si
, quand
tend vers
, on a :
. Et :
.
Donc la série
converge si et seulement si la série
converge.
Conclusion : La série
converge simplement sur
si et seulement si
.
Question
Pour quelles valeurs du réel
la série
converge-t-elle normalement sur
?
Calculez le maximum de
sur
.
Les fonctions
sont dérivables et :
.
On obtient le tableau de variations suivant :
Donc le maximum de
sur
est :
.
Donc la série
converge si et seulement si :
.
Conclusion : La série
converge normalement sur
si et seulement si
.
Question
Pour quelles valeurs du réel
la série
converge-t-elle uniformément sur
?
Minorez le reste de la série lorsque
.
Si
, la série
converge normalement, donc uniformément sur
.
Il reste à étudier la convergence uniforme lorsque
.
Le reste de la série est défini par :
.
Les fonctions
sont positives et :
pour tout entier
.
Donc :
. Donc :
.
Or :
. Donc :
. Or :
si
.
Donc :
et :
. Donc la suite
ne converge pas vers
.
Donc la série
ne converge pas uniformément sur
.
Conclusion : La série
converge uniformément sur
si et seulement si
.
Sur tout segment
, la fonction
est croissante pour tout
.
Donc :
.
Donc :
en notant :
.
Or la série
est convergente car la série de Riemann
converge.
Donc la série
est convergente. Donc la série
converge normalement sur
.
Conclusion : Pour tout
, la série
converge uniformément sur tout segment inclus dans
.
