Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Sur l'espace vectoriel des polynômes
, on définit :
et :
.
Question
Montrer que
et
sont des normes sur
.
Démontrez les trois axiomes.
Si
est un polynôme de degré
, alors :
, donc
.
Donc
est une application de
dans
bien définie.
D'après la formule de Taylor, si
, alors :
.Or
si et seulement si :
.Donc :
.Soit
et
. On a :
.Donc :
.Soient
et
. On a :
.Donc :
.Donc :
.
Conclusion : L'application
est une norme sur
.
L'application
est bien définie puisque les polynômes sont continus, donc bornés sur
.
si et seulement si :
(donc
a une infinité de racines).Donc :
.L'application
coïncide avec la norme
de la fonction polynôme sur
. Elle vérifie donc les deux autres axiomes :
.
.
Conclusion : L'application
est une norme sur
.
Question
Etudier la convergence de la suite de terme général
pour
et
.
Calculez
et
.
et
.
Donc :
et :
.
Donc :
. Donc :
.
Or, pour tout entier
et tout
:
.
Donc, si la suite
convergeait vers
, on aurait :
(limite finie).
Conclusion : La suite
diverge pour la norme
.
.
Donc :
. Donc :
.
Conclusion : La suite
converge vers
pour la norme
.
Question
Les deux normes sont-elles équivalentes ?
Si les normes étaient équivalentes, la suite convergerait aussi vers
pour la norme
.
Conclusion : Les normes
et
ne sont pas équivalentes.
Remarque :
Elles sont équivalentes sur
qui est de dimension finie, mais pas sur
qui n'est pas de dimension finie.
