Exo 2
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une norme définie sur un espace vectoriel
et associée à un produit scalaire.
Question
Question
En déduire que la norme définie sur
par :
ne peut pas être associée à un produit scalaire.
Utilisez la condition nécessaire précédente.
Soient
et
.
Donc :
.
.
Et :
.
Il s'agit donc de comparer
et
.
Or si
et
:
et
.
Donc :
.
Conclusion : La norme
ne peut pas être associée à un produit scalaire.
Remarque :
On peut démontrer que la propriété citée est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une norme soit associée à un produit scalaire.