Espaces vectoriels normés

Exo 2

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit une norme définie sur un espace vectoriel et associée à un produit scalaire.

Question

Démontrer que : .

Indice

Pensez aux propriétés des produits scalaires.

Solution

est associée à un produit scalaire, donc : .

D'après l'identité du parallélogramme : .

Conclusion : .

Question

En déduire que la norme définie sur par : ne peut pas être associée à un produit scalaire.

Indice

Utilisez la condition nécessaire précédente.

Solution

Soient et .

Donc : .

.

Et : .

Il s'agit donc de comparer et .

Or si et : et .

Donc : .

Conclusion : La norme ne peut pas être associée à un produit scalaire.

Remarque

On peut démontrer que la propriété citée est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une norme soit associée à un produit scalaire.

Exercice

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