Espaces vectoriels normés

Exo 1

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Question

Démontrer que l'application : est une norme sur .

Indice

Démontrez les trois axiomes en utilisant les propriétés de la valeur absolue.

Solution

est une application de dans . Vérifions les trois axiomes :

  • et sont positifs, donc : .

    Donc : .

  • .

    Donc : .

  • .

    Or et .

    Donc : .

Conclusion : est une norme sur .

Question

Démontrer que l'application : est une norme sur .

Indice

Démontrez les trois axiomes en utilisant les propriétés de la valeur absolue et du .

Solution

est une application de dans . Vérifions les trois axiomes :

  • et sont positifs, donc : .

    Donc : .

  • .

    Donc : .

  • .

    Or , et .

    Donc : .

    De même : .

    Donc : .

Conclusion : est une norme sur .

Question

Représenter les boules fermées unité associées aux normes et ainsi que celle qui est associée à la norme euclidienne : .

Indice

Pour les normes et , séparez en quatre cas suivant le signe de et de .

Solution

  • La boule fermée unité associée à est l'ensemble :

    .

    C'est le disque de centre et de rayon .

  • La boule fermée unité associée à est l'ensemble :

    .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    On obtient un carré.

  • La boule fermée unité associée à est l'ensemble :

    .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    Si et , on obtient .

    On obtient aussi un carré.

Deux normes et sont équivalentes s'il existe deux réels et tels que : .

Question

Démontrer que les trois normes , et sont équivalentes.

Indice

Démontrez des inégalités entre , et .

Solution

Pour tout , on a : .

Donc : . De même : .

Donc : .

De plus : . Donc : .

On obtient finalement : .

Conclusion : Les trois normes , et sont équivalentes.

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