Normes
Dans ce qui suit
ou
, et
est un
- espace vectoriel.
Définition :
Une norme sur
est une application
de
dans
qui vérifie :
. (séparation)
. (homogénéité)
. (inégalité triangulaire)
Un espace vectoriel normé
est un espace vectoriel
muni d'une norme
.
La norme est souvent notée :
.
Fondamental :
Propriété :
.
Exemples :
La valeur absolue est une norme sur
.Le module est une norme sur
.Tout espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel normé :
.Mais la réciproque est fausse : il existe des normes qui ne peuvent pas être définies à partir d'un produit scalaire.
Définition :
Tout sous-espace vectoriel
d'un espace vectoriel normé
est normé.La norme induite sur
est la restriction de
à
.
Tout produit d'espaces vectoriels normés
est un espace vectoriel normé.La norme produit sur
est définie par
si
.
Définition :
Un vecteur
est unitaire pour une norme
si :
.
Pour tout
, il existe au moins deux vecteurs unitaires colinéaires à
:
.
Définition :
Soit
et
un réel strictement positif.
La boule ouverte de centre
et de rayon
est l'ensemble :
.
La boule fermée de centre
et de rayon
est l'ensemble :
.
Définition :
Une partie
d'un espace vectoriel normé
est bornée s'il existe un réel
tel que :
.
Propriétés :
L'intersection d'un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée.
La réunion d'un nombre fini de parties bornées est une partie bornée.
Le produit d'un nombre fini de parties bornées est une partie bornée pour la norme produit.
Les boules ouvertes et les boules fermées sont des parties bornées.
Une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule de centre
.
Fondamental :
A toute norme est associée une distance :
.
Propriétés :
.
.
. (inégalité triangulaire)
.
Définition :
La distance d'un point
de
à une partie non vide
de
est le réel :
.
