Exo 17
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Cet exercice propose le calcul de l'intégrale de Fresnel :
étudiée dans l'exercice
.
La semi-convergence de cette intégrale a donc déjà été démontrée.
Soit
la fonction définie par :
.
Question
Montrer que la fonction
est de classe
sur
.
Utilisez les théorèmes du cours avec une domination locale.
La fonction
définie par :
est continue sur
.
Et :
.
Donc :
qui est intégrable sur
.
Donc la fonction
est définie et continue sur
.
La fonction
admet une dérivée partielle continue :
.
Et :
.
Donc pour tout
:
qui est intégrable sur
.
Conclusion : La fonction
est de classe
sur
.
Question
Calculer sa dérivée, et en déduire que
est de classe
sur
.
.
On pose :
. Donc :
.
On reconnaît l'intégrale de Gauss. Donc :
.
La fonction
est continue sur
et :
.
Conclusion : La fonction
est de classe
sur
et
.
