Intégration sur un intervalle quelconque

Exo 15

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Cet exercice propose une autre méthode de calcul de l'intégrale de Gauss déjà étudiée dans l'exercice .

On ne redémontrera donc pas ici la convergence de cette intégrale.

Soit la fonction définie par : .

Question

Démontrer que la fonction est de classe sur .

Indice

Utilisez les théorèmes du cours !

Solution

La fonction définie par : est continue et positive sur .

Et l'intervalle est un segment, donc la fonction est définie sur .

La fonction possède une dérivée partielle continue sur  : .

Donc la fonction est de classe sur .

Conclusion : La fonction est de classe sur .

Question

Exprimer sa dérivée en fonction de la fonction définie par : .

Indice

Utilisez un changement de variable.

Solution

.

Pour tout , on pose : , donc et .

Donc : .

L'égalité se prolonge en par continuité de , et .

Conclusion : .

Question

En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss : .

Indice

Exprimez en fonction de et déterminez la limite de en .

Solution

. Donc, en intégrant : .

Or : et .

Donc : .

Or : , donc : et : .

Donc : , et donc : .

Donc : et la fonction est positive, donc : .

Or : .

Conclusion : L'intégrale de Gauss est égale à .

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