Exo 20
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient deux réels
et
tels que :
. Soient
et
deux fonctions continues sur
et à valeurs réelles.
On suppose que
est de signe constant sur
.
Question
Démontrer que :
.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
La fonction
est de signe constant sur
. Supposons par exemple que
est positive.
Si
est la fonction nulle, le résultat est évident.
Dans la suite, on supposera que
n'est pas la fonction nulle.
Donc :
et :
.
La fonction
est continue sur
, donc l'image de
est un intervalle :
.
Donc :
, donc :
.
Or
. Donc :
.
Donc le quotient
appartient à
.
Conclusion :
.
Soient deux réels
et
tels que :
. Soit
une fonction de classe
sur
et à valeurs réelles.
On pose :
.
Question
Déterminer la limite de la suite
.
Exprimez
comme une somme d'intégrales et introduisez le taux d'accroissement de
sur chaque intervalle.
On reconnaît une somme de Riemann, donc on sait déjà que
converge vers
.
si l'on pose :
.
Soit
la fonction définie sur
par :
si
et
.
Donc :
.
La fonction
est dérivable, donc la fonction
est continue sur
. Et la fonction
est de signe constant.
Donc, d'après la question précédente :
.
La fonction
est de classe
sur
, donc sur
.
Donc d'après le théorème des accroissements finis :
.
Donc :
et
.
Donc :
avec :
.
On reconnaît une somme de Riemann de la fonction
qui est continue sur
. Donc :
.
Conclusion :
.
