Exo 19
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
une fonction continue de
dans
.
On définit la suite de terme général :
.
Question
On suppose d'abord que la fonction
est de classe
sur l'intervalle
.
Montrer que la suite
est convergente et calculer sa limite.
Intégrez par parties.
. Donc :
.
On suppose que
est de classe
sur
, donc on peut intégrer par parties.
.
Or
est continue sur
, donc bornée :
.
Donc :
.
Donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La suite
est convergente et
.
Question
Démontrer que le résultat précédent reste vrai dans le cas général.
Séparez l'intervalle
en deux intervalles pour majorer
.
On ne suppose plus que
est de classe
sur
, et il s'agit de montrer que l'on a aussi
.
, donc :
.
Donc :
.
Soit :
.
La fonction
est continue en
, donc :
.
Donc :
.
La fonction
est continue sur
, donc bornée, donc il existe
tel que :
.
Donc :
.
Donc :
. Or :
, donc :
.
Donc :
, donc :
.
Donc :
.
Conclusion : La suite
est convergente et
.
