Intégration d'une fonction numérique

Exo 3

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Les sommes de Riemann peuvent permettre de calculer une intégrale ou une aire.

Et inversement, si l'on connaît l'intégrale ou l'aire, on peut en déduire des limites de suites.

Question

En utilisant des sommes de Riemann, calculer l'intégrale : .

Indice

Utilisez la somme des carrés des entiers.

Solution

La fonction est continue sur . Donc : .

Or : .

Conclusion : .

Question

En déduire la limite de la suite de terme général : .

Indice

Pour calculer l'intégrale, utilisez la symétrie des courbes représentatives des fonctions et .

Solution

est une somme de Riemann de la fonction sur .

Or la fonction est continue sur , donc : .

Il s'agit de l'aire située sous la courbe représentative de la fonction .

Or les courbes représentatives des fonctions et sur sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Donc les aires et sont égales.

Donc l'aire située sous la courbe représentative de la fonction est égale à l'aire du carré de côté moins l'aire .

Donc : .

Conclusion : .

Question

Calculer de même la limite de la suite de terme général : .

Indice

Quelle est la courbe représentative de la fonction  ?

Solution

est une somme de Riemann de la fonction sur .

Or la fonction est continue sur , donc : .

Il s'agit de l'aire située sous la courbe représentative de la fonction .

C'est donc de l'aire du quart de disque de centre et de rayon .

Conclusion : .

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