Fonctions intégrables
Soit
une fonction à valeurs réelles, définie sur un segment
de
tel que
.
Définition :
Si
|  |
L'ensemble
est non vide et majoré par l'intégrale du majorant de
, donc admet une borne supérieure
.
L'ensemble
est non vide et minoré par l'intégrale du minorant de
, donc admet une borne inférieure
.
Définition :
La fonction
est intégrable sur
si
.
La valeur commune
est l'intégrale de
sur
, notée
ou
.
Donc une fonction
est intégrable sur
si et seulement si, pour tout réel
, il existe deux fonctions en escalier
et
telles que
et
.
Fondamental :
Interprétation géométrique
Si
est à valeurs positives sur
, l'intégrale
est l'aire de la partie de plan limitée par la courbe représentative de
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
En effet, cette aire est encadrée par les aires associées aux fonctions en escalier qui minorent et qui majorent
.
Fondamental :
Toute fonction continue sur
est intégrable sur
.Toute fonction monotone sur
est intégrable sur
.
Définition :
La fonction
est continue par morceaux sur
s'il existe une subdivision
pour laquelle, pour tout
, la restriction de
à
soit continue et admette un prolongement par continuité
sur
.
La restriction de
à
admet donc des limites finies en
et
.
Fondamental :
Toute fonction continue par morceaux sur
est intégrable sur
et :
.
Définition :
Soit
une fonction continue par morceaux sur
.
Les sommes de Riemann de
associées à une subdivision
sont de la forme :
où
pour tout
.
Fondamental :
Si le pas de
tend vers
, alors
tend vers
. En particulier :
.
Une somme de Riemann donne donc une valeur approchée de l'intégrale (méthode des rectangles).
Définition :
Extensions de l'intégrale
Si
:
.Si
:
.
