Exo 6
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
Pour étudier le sens de variations de
, introduisez une fonction auxiliaire.
La fonction
est définie si et seulement si :
. Donc :
.
, donc :
, donc :
.
, donc :
, donc :
.
Donc :
et
. Et :
.
La courbe de
admet en
et en
une branche parabolique de direction
.
, donc :
. Donc :
et
.
, donc :
. Donc :
et
.
Donc
est prolongeable en
et sa courbe admet un « point limite »
avec une demi-tangente à gauche de pente
et une demi-tangente à droite de pente
.
Par composition, la fonction
est dérivable sur
.
Donc la fonction
est dérivable sur
comme quotient de fonctions dérivables.
.
Donc
est du signe de
si
est définie par :
.
La fonction
est dérivable sur
et :
.
Sur
,
est strictement croissante et
, donc
est positive.
Sur
,
est strictement décroissante et
, donc
est positive sur
et négative sur
.
On en déduit le signe de
.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
La fonction
est définie si et seulement si :
. Donc :
.
, donc :
, donc :
. Donc :
.
Donc
est prolongeable en
et sa courbe admet un « point limite »
avec une tangente pente
car :
.
, donc :
, donc :
. Donc :
.
Et :
. Or :
et
.
Donc
est prolongeable à gauche de
et sa courbe admet un « point limite »
avec une tangente horizontale.
, donc :
, donc :
. Donc :
.
A droite de
, la courbe de
admet une asymptote verticale d'équation
.
, donc :
, donc :
. Donc :
.
De plus :
et :
. Donc :
.
Donc la courbe de
admet en
une direction asymptotique
.
Par composition, la fonction
est dérivable sur
.
Donc
est dérivable sur
comme produit de fonctions dérivables.
.
Donc
est du signe de :
.
Question
Etudier et représenter graphiquement la fonction définie par :
.
Pour étudier le sens de variations de
, introduisez une fonction auxiliaire en isolant le logarithme.
La fonction
est définie sur
car :
.
, donc :
, donc :
.
La courbe de
admet en
une asymptote horizontale d'équation
.
, donc :
. Or :
, donc :
.
La courbe de
admet en
une asymptote horizontale d'équation
.
Par composition, la fonction
est dérivable sur
.
Donc
est dérivable sur
comme produit de fonctions dérivables.
.
Donc
est du signe de
en posant :
.
Il suffit d'étudier la fonction
sur
puisque :
.
La fonction
est dérivable et :
.
Donc
est strictement décroissante sur
et :
.
Donc :
. Donc :
.
La courbe de
présente un point d'inflexion, mais on ne peut trouver qu'une valeur approchée de son abscisse.
