Fonctions numériques usuelles

Exo 4

Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.

Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.

Une solution détaillée vous est ensuite proposée.

Soit l'ensemble des fonctions définies sur vérifiant : .

Soit une fonction non nulle appartenant à .

Question

Démontrer que : .

Indice

Démontrez d'abord que est positive, puis qu'elle ne s'annule pas en raisonnant par l'absurde.

Solution

. Donc : .

Supposons qu'il existe un réel tel que : .

Alors : .

Or la fonction n'est pas la fonction nulle. Donc il n'existe pas tel que .

Conclusion : .

On suppose maintenant que est continue en .

Question

Démontrer que est continue sur .

Indice

Pour tous et réels, calculez .

Solution

Pour , on a : , donc : , puisque .

Soit . Alors : .

Or est continue en . Donc : .

Donc : . Donc est continue en pour tout réel .

Conclusion : La fonction est continue sur .

Question

Démontrer que est dérivable sur .

Indice

Exprimez à l'aide d'une primitive de sur .

Solution

La fonction est continue sur , donc admet une primitive qui s'annule en .

Pour tout réel , les fonctions et sont continues sur , donc intégrables sur .

Et : .

Or : .

Et : par changement de variable .

Donc pour tout réel : .

Or : et : , donc : .

Donc pour tout réel : . Or est dérivable sur .

Conclusion : La fonction est dérivable sur .

Question

Démontrer qu'il existe un réel tel que : .

Indice

Utilisez l'expression précédente.

Solution

, donc : .

Or : . Donc : .

Conclusion : Il existe un réel tel que : .

Question

En déduire qu'il existe un réel tel que : , où est la fonction réciproque de la fonction .

Indice

Déterminez la fonction .

Solution

. Donc on pose : .

La fonction est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables.

. Donc : .

Or : . Donc : , donc : .

Conclusion : Il existe un réel tel que : .

Réciproquement, soit un réel et la fonction définie par : .

Question

Démontrer que la fonction appartient à .

Indice

Utilisez la propriété du logarithme népérien.

Solution

La fonction est définie par : .

La fonction est bijective de dans , donc la fonction est bijective de dans .

Donc : . Donc : .

Donc : .

Donc : , donc : .

Conclusion : Toute fonction définie par : appartient à .

Question

Soit un réel . Démontrer que : pour toute suite de rationnels convergeant vers .

Indice

Déterminez pour appartenant successivement à , à , à , puis utilisez la continuité de la fonction.

Solution

La fonction définie par : appartient à .

Donc : .

On en déduit par une récurrence simple que : .

Donc : .

Et : , donc : .

Donc : .

Tout rationnel peut s'écrire sous la forme avec et .

Donc : . Or : . Donc : .

Donc : .

La fonction est continue sur par composition de fonctions continues.

Donc, si , alors .

Conclusion : pour toute suite de rationnels convergeant vers .

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